前几日公映的国产片《银河系积极探索杂志社》，受了很多观众们的赞誉。电影中，数次再次出现了螺旋状的花纹，比如说唐建明看见Lectoure中两嘉庆是螺旋花纹的；孙一通把看见的景象用艾薇尔压成了双链形；唐建明在洞穴里也看见了壁画上的螺旋状花纹；直到电影最后的特效，也做成了螺旋状。
电影《银河系积极探索杂志社》海报
电影的看法认为，螺旋状是“银河系万物运行的规律”，从银河系中的星系到多种真菌的中心，再到有机体的遗传物质 DNA，都是螺旋状的结构。
回到现实中，不少东西也是按照“螺旋状”的法则繁殖和运作的。
01
真菌中的螺旋状
1. 拜占庭红萝卜
拜占庭红萝卜是由红萝卜和胡萝卜杂交培育出的品种，它是碎形学的代表。
它的胡影表面由很多螺旋状形的蒲公英组成，整个拜占庭红萝卜有将近 300 朵这样的蒲公英，每朵蒲公英都是小型四边，也是呈螺旋花纹密切排序的。
拜占庭红萝卜，Mundolsheim著作权相片，不许可转发
蒲公英以胡影中心为圆心螺旋状排序，此种花纹是斐四元组有理数（又称白银分隔有理数）的天然代表。
斐四元组有理数的前三项均为“1”，并且从第二项开始，每几项都等于前三项之和，比如：1、1、2、3、5、8、13、21、34……
当个数足够是定值，前几项与后几项的比值越来越逼近对数比率——0.618，人们在很多花纹设计上，单厢考虑应用斐四元组有理数。
2. 獐毛
你可能经常在公园里见到掉在地上的獐毛，它是一种木质的、有鳞的“果子”。
仔细观察，你一定会注意到它的斑点螺旋状，斑点可以在潮湿或寒冷时紧闭，保护它的种籽。然后在温度、湿度合适的时候打开，再让风帮助种籽散播。
嫩芽顶部套管，相片来源：Wikipedia
嫩芽的顶部螺旋状花纹，从两个路径揭露出这些套管形成的位数都是斐波异或位数。
示意图的獐毛，顺时针转动的轮廓四元组 8，而顺时针转动的轮廓四元组 13；
除了 8 和 13，转动的轮廓数还有可能是 5 或 21，这些都是斐波异或有理数中存在的位数；
而像 7、9、10、11、12 等无此斐波异或有理数中的位数，则不会再次出现。是不是很神奇？
3. 多肉真菌
在真菌学中，碎形被称为“螺旋状科栅”，即真菌上的枝叶呈螺旋状排序。
很多多肉真菌的枝叶就是这样密切地按照螺旋状结构卷曲繁殖，形成具有对数比率的自相近螺旋状——白银螺旋状。
此种排序方式有助于将雨水输送到真菌的核心，而且可以防止顶部枝叶遮住顶部枝叶。
精油的螺旋状科栅，Mundolsheim著作权相片，不许可转发
当然也有一些相同的看法。
曾有一位物理学家提出假设，他认为所有真菌，以及我们人脸的螺旋状花纹的再次出现都是为了缓解繁殖所受的形变作用。比如，在真菌中，随着细胞核在相同路径上的分裂繁殖，它可能会因为受相邻细胞核或组织的约束而经历机械形变，此种形变会导致组织弯曲和折叠。
02
什么是“碎形”
上面提到了那么数次“碎形”，碎形就是螺旋状繁殖吗？
碎形是几何学中的一个概念，指的是简单的相近花纹在相同层次上不断重复，形成复杂的绘图或花纹，此种异体在自然界中无处无此。
早在 1967 年美国物理学家本华·曼德博（Benoit B. Mandelbrot）在《科学》杂志上上发表的一篇题为《英国的海岸有多长？》的论文。文中指出，像是海岸此种不规则绘图，如果选取的测量尺度不一样，测量结果将相差甚远。
如下图，当选择测量尺度很是定值，细小的地方没有测量，得到的值会比较小。
而用小尺度测量，得到的结果会大得多。用的尺度越小，得到的值将越大。
相同测量尺测量英国海岸，相片来源：Wikipedia
也就是说现实中此种复杂的不规则边界的绘图没有准确的周长，并且会随着测量尺度的减小它的周长将趋于无穷。这便是碎形理论的萌芽。
后来人们认为，如果此种不规则边界呈现出一种小尺度和大尺度相近的特征，并且无限细分下去都存在此种自相近性，那么此种几何花纹就可以被称为“碎形”。
03
碎形并不都是“螺旋状的”
其实，在日常生活中有很多碎形的例子，除了开篇提到的拜占庭红萝卜和獐毛，像菠萝的繁殖、冰晶的形成，也遵循碎形规律。
1. 雪花
没有两片雪花是完全相同的，但是它都有自己的独特的碎形。
Mundolsheim著作权相片，不许可转发
雪花的分支会产生自己的侧分支，如果雪花不停的积聚水分并融合，那么雪花可能会永远这样继续下去。
我们生活中见到的雪花实际上就是经过无数次迭代形成的。
科赫雪花示意图，相片来源：Wikipedia
这其中最著名的碎形花纹被称为科赫雪花，它源于一个等边三角形叠加另一个等边三角形，然后再接二连三形成下一个等边三角形。
科赫雪花经过无数次迭代后，它的边角变得非常崎岖，这会使有限面积的雪花蕴藏着无限的周长。
这也与“海岸有多长”的问题异曲同工。
2. 树枝
对于真菌来说，以碎形的规律繁殖，可以让它最大限度地暴露在阳光下，进行良好的光合作用。同时，也能够高效地将养分输送到自身的各个部位。
树木的繁殖是自然界中最典型的碎形之一。
随着树干的繁殖，树枝从树干上长出来，而这些树枝本身又会像树干一样，发展出自己的枝条。
仔细观察，你会发现整棵树可以看作“Y”形的重复。
树木碎形，相片来源：Robert Fathauer
此种碎形设计，就像多肉真菌的螺旋状形，帮助树木优化它对阳光的照射，并防止顶部树枝遮挡较低的树枝。
3. 铜晶体
碎形几何在化学中也很常见，铜晶体正是一个典型的代表。
铜晶体像树枝一样向四面八方分支，每根分支又是一个新的繁殖点往下延续。
铜晶体，相片拍摄：老猫
正是这样的不断分枝，形成固体金属铜。
由于此种迷幻的树状结构和独特的红棕色，生活中铜晶体经常被当作艺术品。
4. 河流
当我们看地图时，会发现河流总是呈蜿蜒的“S”形，虽然溪流有时可以形成一条直线，但随着它遇到相同障碍物干扰，很快就会变得弯曲。
只需一次扰动就可以扰乱河流的流动路线，使其全线弯曲。
Mundolsheim著作权相片，不许可转发
深入研究这些河流后会发现，它的宽度是非常公式化，一般曲线长度总是通道宽度的六倍。
此种自相近性正是碎形的特征，也是世界各地河流看起来相近的原因。
5. 泡沫
在自然界中，当海浪冲击或雨滴落下时再次出现的气泡会产生一种自相近的模式，液体薄膜将各种大小的气腔隔开。
大气泡旁边散布着小气泡，小气泡旁散布着更小的气泡。
Mundolsheim著作权相片，不许可转发
我们在咖啡上、洗碗槽、浴缸中见到的泡沫都是一种碎形的现象。
自然界中每一中的碎形都有它自己的道理，你在自然界中还见到过哪些碎形的现象？
参考文献：
[1]"UA Mathematicians Predict Patterns in Fingerprints, Cacti." University of Arizona. 2004.
[2]Peng, Sheng-Lung, Rong-Xia Hao, and Souvik Pal. "Proceedings of First International Conference on Mathematical Modeling and Computational Science." Springer Nature. 2021.
作者：Denovo 科普作者审核：张磊 北京大学北京国际数学研究中心 研究员
还木有评论哦，快来抢沙发吧~